（1）四边形EGFH是平行四边形；
证明：∵▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴点O是▱ABCD的对称中心；
∴EO=FO，GO=HO；
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）∵四边形EGFH是平行四边形，EF⊥GH，
∴四边形EGFH是菱形；
（3）菱形；
由（2）知四边形EGFH是菱形，
当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响；
（4）四边形EGFH是正方形；
证明：∵AC=BD，
∴▱ABCD是矩形；
又∵AC⊥BD，
∴▱ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；
∵EF⊥GH，
∴∠GOF=90°；
∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°
∴∠BOG=∠COF；
∴△BOG≌△COF（ASA）；
∴OG=OF，同理可得：EO=OH，
∴GH=EF；
由（3）知四边形EGFH是菱形，
又EF=GH，
∴四边形EGFH是正方形．