证明：（1）假设方程f（x）-x=0有异于c₁的实根m，即f（m）=m，
则有m-c₁=f（m）-f（c₁）=（m-c₁）f_n（x₀）成立．
因为m≠c₁，所以必有f_n（x₀）=1，这与f_n（x）≠1矛盾，
因此方程f（x）-x=0不存在异于c₁的实数根．…（4分）
（2）令h（x）=f（x）-2x，
∵h_n（x）=f_n（x）-2＜0，∴函数h（x）为减函数．
又∵h（c₂）=f（c₂）-2c₂=0，∴当x＞c₂时，h（x）＜0，即f（x）＜2x成立．…（8分）
（3）不妨设x₁≤x₂，∵f_n（x）＞0，∴f（x）为增函数，即f（x₁）≤f（x₂）．
又∵f_n（x）＜2，∴函数f（x）-2x为减函数，即f（x₁）-2x₁≥f（x₂）-2x₂．
∴0≤f（x₂）-f（x₁）≤2（x₂-x₁）．
即|f（x₂）-f（x₁）|≤2|x₂-x₁|．
∵|x₂-x₁|=|x₂-c₁+c₁-x₁|≤|x₂-c₁|+|x₁-c₁|＜2，
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜4．…（15分）