设函数f(x)在闭区间「0,1」上连续,在（0,1）上可导,且f(0)=0,f(1)=1/3,证明,存在A属于0到1／2,B属于1_数学解答

设函数f(x)在闭区间「0,1」上连续,在（0,1）上可导,且f(0)=0,f(1)=1/3,
证明,存在A属于0到1／2,B属于1／2到1,使得,f'(A)+f'(B)=A的平方+B的平方

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解答

g(x)=f(x)-x^3/3
在[0,1/2]上对g(x)用中值定理
g(1/2)-g(0)=g'(A)(1/2-0)=g(1/2)
在[1/2,1]上对g(x)用中值定理
g(1)-g(1/2)=g'(B)(1-1/2)=-g(1/2)
比较
g'(A)+G'(B)=0
移项即可.