在三角形ABC中,设向量BC=a,向量CA=b,向量AB=c
(1)若三角形为正三角形,求证a*b=b*c=c*a,(2)若a*b=b*c=c*a成立,三角形ABC是否为正三角形?
人气:319 ℃ 时间:2019-08-18 11:38:48
解答
1
令正三角形的边长为k
则:a·b=|BC|*|CA|*cos(π-C)
=-k^2cos(π/3)
=-k^2/2
b·c=|CA|*|AB|*cos(π-A)
=-k^2cos(π/3)
=-k^2/2
c·a=|AB|*|BC|*cos(π-B)
=-k^2cos(π/3)
=-k^2/2
故:a·b=b·c=c·a
2
a·b=b·c
即:|BC|*|CA|*cos(π-C)=|CA|*|AB|*cos(π-A)
即:|BC|cosC=|AB|cosA
即:sinAcosC=sinCcosA
即:sin(A-C)=0
A-C∈(-π,π),故:A-C=0
即:A=C
同理,由b·c=c·a,可得:A=B
由c·a=a·b,可得:B=C
即:A=B=C
故三角形ABC是正三角形
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