1.用反证法,假设不存在4k-1型的质因数.
对4k-1进行质因数分解4k-1是奇数,由于大于2的素数都是奇数,因此所有素因子必然都是4s+1型的.
那么：
4k-1=(4s1+1)^t1*(4s2+1)^t2*.*(4sm+1)^tm
把后面的式子与前面的式子同时mod 4得：
-1= 1 mod 4
矛盾,因此必然存在,更一般的,4s-1型的素因子的个数还必然是奇数个.
2.对整个式子通分,记为A/B,如果是整数,那么A/B是整数,即B|A.
B=n!而对于任意一个i,2第二问我的说法有错，现在我重新写一下证明：
A=n!+n!/2+...+n!/i+.+n!/n
只要找到一个数i使得i!|A即可.其中i是n!的一个因子.
我们可以令s=2^k,s<=n,但2s>n。
令a(2,n)为n!里素因子2的个数,
那么n!,n!/2,n!/2^2....n!/2^k都是整数,它们的素因子2的个数分别是:
a(2,n),a(2,n)-1....a(2,n)-k。
令i=2^(a(2,n)-k+1),此时对任何小于k的j，均有：
i|n!/2^j,而i!|n!/2^k,由s的最大幂次可知，满足i!|n!/j的项数唯一．
所以除这项之外，其他项都能整除i.这样就说明了n!内存在因子i，使得A/i不是整数．
所以A/B不是整数。类似的
1+1/3+1/5+1/7+....+1./(2n+1)
则考虑3的幂次．
其实还有更快的办法．要用Bertand假设(已证)：在[n/2,n]的整数里，必定有一个素数．
那么此时你取i=p,n!里面素因子p的个数只有一个，因此除了
p!|n!/p,其他项都能被整除．