该双曲线中,a=b=1,所以其渐近线方程为y=正负x,
而直线l：y=kx+1是恒过点（0,1）的直线系,
所以当k=正负1时,直线l：y=kx+1与渐近线y=正负x平行,所以直线l：y=kx+1与双曲线C：x^2--y^2=1只有一个公共点.
当k=0时,直线l：y=kx+1平行于x轴,此时直线l与双曲线有两个交点.
所以当k∈（-∞,-1〕∪〔1,+∞）时,直线l：y=kx+1与双曲线C：x^2--y^2=1的公共点的个数为1个；
当k∈（-1,1）时,直线l：y=kx+1与双曲线C：x^2--y^2=1的公共点的个数为2个.