∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE，故选项①正确；
∵∠ACB=∠ACE=60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE=∠CAD，
∴∠BMC=∠ANC，故选项②正确；
由△BCE≌△ACD得：∠CBE=∠CAD，
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=∠CBE+∠ADC=60°，
又∠APM是△PBD的外角，
∴∠APM=∠CBE+∠ADC=60°，故选项③正确；
在△ACN和△BCM中，

∠CAN＝∠CBM AC＝BC ∠ACN＝∠BCM＝60°

，
∴△ACN≌△BCM，
∴AN=BM，故选项④正确；
∴CM=CN，
∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN=60°，
∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；
故选：D．