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数学
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已知A,B,C为△ABC的三个内角;a,b,c分别为对边,向量
m
=(2cosC-1,-2),
n
=(cosC,cosC+1),若
m
⊥
n
,且a+b=10,则△ABC周长的最小值为( )
A. 10-5
3
B. 10+5
3
C. 10-2
3
D. 10+2
3
人气:377 ℃ 时间:2020-04-21 16:12:27
解答
∵
m
=(2cosC-1,-2),
n
=(cosC,cosC+1),
m
⊥
n
,
∴2cos
2
C-cosC-2cosC-2=0,
即2cos
2
C-3cosC-2=0,
∴cosC=-
1
2
,或cosC=2(舍).
∵a+b=10,
∴
ab≤(
a+b
2
)
2
=25
,
∴c
2
=a
2
+b
2
-2abcosC
=a
2
+b
2
+ab
=100-ab
≥100-25
=75.
∴
c≥
75
=5
3
.
∴△ABC周长的最小值为10+5
3
.
故选B.
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