设函数f(X)定义在（0,+∞）上,f(1)=0,导数f'(x)=1/x,g(x)=f(x)+f'(x) .（①）讨论g（x）与g_数学解答

设函数f(X)定义在（0,+∞）上,f(1)=0,导数f'(x)=1/x,g(x)=f(x)+f'(x) .
（①）讨论g（x）与g（1/X）大小关系
（②）求a的取值范围,使得g（a)-g（x)<1/a对任意x>0成立

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解答

f'(x)=1/x 所以f(x)=lnx+c f(1)=0 c=0f(x)=lnxg(x)=lnx+1/x (x>0)g(1/x)=x-lnx (x>0)g(x)-g(1/x)=2lnx+1/x-x 另F(x)=2lnx+1/x-x F(x)'=2/x-1/x^2-1=-(x-1)^2/x^2 0 即g(x)>(1/x)x∈(1,+∞) F(X)