如图,已知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB中点,点E.F,G分别在BC,CD,DA上移动,且BE\BC=CF\CD=DG
人气:340 ℃ 时间:2020-04-07 02:06:17
解答
21.根据题设条件,首先求出点P坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点P到两定点距离的和为定值.按题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a).
设BE\BC=CF\CD=DG\DA=k(0≤k≤1).
由此有E(2,4ak),F(2-4k,4a),G(-2,4a-4ak).
直线OF的方程为:2ax+(2k-1)y=0,①
直线GE的方程为:-a(2k-1)x+y-2a=0.②
从①,②消去参数k,得点P(x,y)坐标满足方程2a2x2+y2-2ay=0,
整理得 .
当a2=时,点P的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点.
当a2≠时,点P轨迹为椭圆的一部分,点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.
当a2<时,点P到椭圆两个焦点(-),()的距离之和为定值.
当a2>时,点P到椭圆两个焦点(0,a-),(0,a+)的距离之和为定值2a
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