已知f（x）是定义在（-∞，+∞）上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x，y，f（x）都满足f（xy）=yf（x）+xf（y）．_数学解答

已知f（x）是定义在（-∞，+∞）上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x，y，f（x）都满足f（xy）=yf（x）+xf（y）．
（I）求f（1），f（-1）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．

人气：103 ℃　时间：2020-02-15 08:52:07

解答

（I）定义域内的任意x，y，f（x）都满足f（xy）=yf（x）+xf（y），
∴令x=y=1，得f（1）=0；令x=y=-1，得f（-1）=0…6分
（Ⅱ）令y=-1，有f（-x）=-f（x）+xf（-1），…9分
∵f（-1）=0，
∴f（-x）=-f（x），…12分
∴f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数…13分