证：设x₁，x₂是（a，b）内任意两点，且x₁＜x₂，在[x₁，x₂]上应用拉格朗日中值定理得
f（x₂）-f（x₁）=f′（ξ）（x₂-x₁）（x₁＜ξ＜x₂）
因为f′（ξ）=0，
所以f（x₂）-f（x₁）=0，即f（x₂）=f（x₁），
由x₁，x₂的任意性可知
f（x）在（a，b）内是一个常数．