设函数f（x）= 2x+3 3x （x＞0）,数列{an}满足a1=1,an=f( 1 an-1 )（n∈N*,且n≥2）设函数f_数学解答

设函数f（x）= 2x+3 3x （x＞0）,数列{an}满足a1=1,an=f( 1 an-1 )（n∈N*,且n≥2）
设函数f（x）=(2x+3)/(3x)（x＞0）,数列{an}满足a1=1,an=f[1/（a（n-1）]（n∈N*,且n≥2）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+（-1）n-1anan+1,若Tn≥tn2对n∈N*恒成立,求实数t的取值范围；
（3）是否存在以a1为首项,公比为q（0＜q＜5,q∈N*）的数列{a_n k},k∈N*,使得数列{a_n k}中每一项都是数列{an}中不同的项,若存在,求出所有满足条件的数列{nk}的通项公式；若不存在,说明理由

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解答

f(x)=2/3+1/x
an=2/3+a(n-1)
所以 an-a(n-1)=2/3
所以 {an}是等差数列
首项a1=1,d=2/3
所以 an=1+2(n-1)/3=(2n+1)/3
(1)n是偶数
Sn=(a1a2-a2a3)+(a3a4-a4a5)+.+[a(n-1)an-ana(n+1)]
= -a2(a3-a1)-a4(a3+a5)+.-a(n)[a(n+1)-a(n-1)]
=-4/3*(a2+a4+.+an)
=-(4/3) *[5/3+(2n+1)/3]*n/4
=(-4/3)*n(n+3)/6
=-2n(n+3)/9
(2)n是奇数
Sn=S(n-1)+an*a(n+1)
=-2(n-1)(n+2)/9+(2n+1)(2n+3)/9