1、设{a(n)}的前n项和为A(n).
点(1,1/3)过 f(x)=a^x,则 1/3=a
所以 f(x)=(1/3)^x
而{a(n)}的前n项和为 A(n)=f(n)-C=[(1/3)^n]-C
所以
a(n)=[f(n)-C]-[f(n-1)-C]
=(1/3)^n-(1/3)^(n-1)
=(1/3-1)[(1/3)^(n-1)]
=(-2/3)[(1/3)^(n-1)]
由于{a(n)}为等比数列,可见其首项为-2/3、公比为1/3
所以,其前n项和应为
A(n)=(-2/3)[1-(1/3)^n]/(1-1/3)=[(1/3)^n]-1
故C=1.
对于数列{b(n)},b(1)=C=1
当n≥2时,有
S(n)-S(n-1)=√S(n)+√S(n-1)
两边同提取 [√S(n)+√S(n-1)] 约去可得
√S(n)-√S(n-1)=1
可见 {√S(n)} 是以 S(1)=b(1)=1 为首项、1为公差的等差数列,
故 √S(n)=n,S(n)=n²
所以
b(n)=S(n)-S(n-1)
=n²-(n-1)²
=2n-1.
2、
1/[b(n)b(n+1)]
=1/[(2n-1)(2n+1)]
=(1/2)/(2n-1)-1/(2n+1)
所以
T(n)=(1/2)[1-1/3+1/3-1/5+…+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=(1/2)[1-1/(2n+1)]
=n/(2n+1)
当T(n)＞1000/2012时,应有
n/(2n+1)＞1000/2012
解得 n＞250/3=83.33…,故n=84