（1）当a=0时，函数为y=x+1，它的图象显然与x轴只有一个交点（-1，0）．
当a≠0时，依题意得方程ax²+x+1=0有两等实数根．
∴△=b²-4ac=1-4a=0，
∴a=

1

4

．
∴当a=0或a=

1

4

时函数图象与x轴恰有一个交点；
（2）依题意有

4a−1

4a

＞0，
当4a＞0，4a-1＞0，解得a＞

1

4

；
当4a＜0，4a-1＜0，解得a＜0．
∴a＞

1

4

或a＜0．
当a＞

1

4

或a＜0时，抛物线顶点始终在x轴上方．