数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题,1+2+3+…+10=?
经过研究,这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=
n(n+1),其中n为正整数,现在我们来研究一个类似的问题:1×2+2×3+…+n(n+1)=?
观察下面三个特殊的等式:
1×2=n(1×2×3-0×1×2)
2×3=x(2×3×4-1×2×3)
3×4=n(3×4×5-2×3×4)
将这三个等式的两边相加,可以得到1×2+2×3+3×4=m×3×4×5=20.
读完这段材料,请你计算:
(1)1×2+2×3+…+100×101=______;(直接写出结果)
(2)1×2+2×3+…+n(n+1);(写出计算过程)
(3)1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=______.
(1)∵1×2+2×3+3×4=m×3×4×5=
×4×5=20,
∴1×2+2×3+…+100×101=
×100×101×102=343400;
(2)∵1×2=n(1×2×3-0×1×2)=
(1×2×3-0×1×2),
2×3=x(2×3×4-1×2×3)=
(2×3×4-1×2×3),
3×4=n(3×4×5-2×3×4)=
(3×4×5-2×3×4),
…
n(n+1)=
[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)],
∴1×2+2×3+…+n(n+1)=
[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)],
=
n(n+1)(n+2);
(3)根据(2)的计算方法,1×2×3=n(1×2×3×4-0×1×2×3)=
(1×2×3×4-0×1×2×3),
2×3×4=x(2×3×4×5-1×2×3×4)=
(2×3×4×5-1×2×3×4),
…
n(n+1)(n+2)=
[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)],
∴1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=
(1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+…+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)],
=
n(n+1)(n+2)(n+3).
故答案为:(1)343400;(2)
n(n+1)(n+2);(3)
n(n+1)(n+2)(n+3).