（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心，
（2）点P在三角形外部时，一个对称轴上有三个点，如图：
共有9个点符合要求，
∴具有这种性质的点P共有10个．
故答案为10．