已知PQ是垂直于x轴的抛物线y²=2px（p＞0）的焦点弦,M是FP的重点（F为焦点）,过点M做直线与抛物线交与点A,B_数学解答

已知PQ是垂直于x轴的抛物线y²=2px（p＞0）的焦点弦,M是FP的重点（F为焦点）,过点M做
直线与抛物线交与点A,B,若△PMA的面积与△QMB的面积相等,求直线AB的方程和弦AB的长

人气：345 ℃　时间：2020-05-02 16:28:18

解答

抛物线y^2=2px(p>0)①的焦点是F(p/2,0),
把PQ:x=p/2代入①,得y^2=p^2,y=土p,
∴P(p/2,p),Q(p/2,-p).
∴FP的中点M为(p/2,p/2).
△PMA的面积与△QMB的面积相等,MP=MQ/3,
∴MA=3MB,设B(p/2-a,p/2-b),则A(p/2+3a,p/2+3b),
点A,B都在抛物线y^2=2px上,
∴(p/2+3b)^2=2p(p/2+3a),②
(p/2-b)^2=2p(p/2-a),③
③*3+②,3(p/2-b)^2+(p/2+3b)^2=4p^2,
整理得12b^2=3p^2,b^2=p^2/4,b=土p/2,
把b=p/2代入③,a=p/2;
把b=-p/2代入③,a=0(舍).
∴A(2p,2p),B(0,0),
∴直线AB的方程是x-y=0,|AB|=2p√2.