原方程变形得：（k-1999）x+2000x=2001，
∴x=

2001

k+1

，
∵k为整数，
∴2001的因数有：1，3，23，29，69，87，667，2001，-1，-3，-23，-29，-69，-87，-667，-2001．
∴共有16个．
故选D．