1、a=1,
|AB|=（|AF2|+|BF2|）/2,
根据椭圆定义,
|AF2|+|AF1|=2a=2,(1)
|BF2|+|BF1|=2a=2,(2)
(1)+(2)式,
|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=4,
2|AB|+|AB|=4,
∴AB=4/3,
2、斜率k=1,故直线和X轴成角45°,
c=√（a^2-b^2)=√（1-b^2),
离心率e=c/a=√（1-b^2),
cos45°=√2/2,
根据焦点弦公式,|AB|=(2b^2/a)/[1-e^2(cosθ）^2]
(2b^2/1)/[1-（1-b^2)*1/2]=4/3,
∴b^2=1/2,
∴椭圆方程为：x^2+2y^2=1.