a1,a2,a3,a4线性相关
则存在x1,x2,x3使得
a4=x1a1+x2a2+x3a3.(1)
a1,a2,a3,a5线性相关
则存在y1,y2,y3使得
a5=y1a1+y2a2+y3a3.(2)
(2)-(1)得
a5-a4=(y1-x1)a1+(y2-x2)a2+(y3-x3)a3
则
a1,a2,a3,a5-a4线性相关可以用反证法a1,a2,a3,a4线性相关 则存在x1,x2,x3使得 a4=x1a1+x2a2+x3a3.......(1)假设：a1,a2,a3,a5-a4线性相关 则存在y1,y2,y3使得 a5-a4=y1a1+y2a2+y3a3.......(2)(2)+(1)得 a5=(y1+x1)a1+(y2+x2)a2+(y3+x3)a3 则 a1,a2,a3,a5线性相关与已知矛盾故 a1,a2,a3,a5-a4线性无关