对称轴是x=–1的二次函数y=f(x)在R上的最小值是0,且f(1)=1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)=(λ＋1)f(x–1)–λx–3在x∈[–1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围；
(3)求最大的实数m(m>1),使得存在实数t,只要x∈[1,m],就有x≥f(x＋t)成立
(1)解析：∵对称轴是x=–1的二次函数y=f(x)在R上的最小值是0
∴设二次函数解析式为：f(x)=a(x+1)^2,(a>0)
∵f(1)=1
则a(1+1)^2=1==>a＝1/4
∴f(x)=1/4 (x+1)^2
(2)解析：由(1)得：g(x)=(λ+1)f(x-1)-λx-3=(λ+1)/4*x^2-λx-3当λ=-1时,则g(x)=x-3
易知函数g(x)在x属于[-1,1]上是增函数
当λ≠-1时,考察二次方程[(λ+1)/4]*x^2-λx-3＝0,
Δ＝(-λ)^2-4*[(λ+1)/4]*(-3)=λ^2+3λ+3=(λ+3/2)^2+3/4恒有Δ>0,即二次方程有两个不同的实根
当λ≥0时,即(λ+1)/4>0,二次函数g(x)图像开口向上,且与x轴有两个不同的交点有：g(0)=-3<0,对称轴x=2λ/(λ+1)>0,
易知g(x)在[-1,0]上为减函数,显然不合题意
当-1<λ<0时,即(λ+1)/4>0,g(x)图像开口向上,且与x轴有两个不同的交点,
有：g(0)=-3<0,对称轴x＝2λ/(λ+1)<0
要使g(x)在x属于［-1,1］上是增函数,
须使2λ/(λ+1)≤-1==>λ≤-1/3,
∴-1<λ≤-1/3
当λ<-1时,即(λ+1)/4<0,g(x)图像开口向下,且与x轴有两个不同的交点,
有：g(0)=-3<0,对称轴x=2λ/(λ+1)>0,
要使g(x)在x属于［-1,1］上是增函数,
须使2λ/(λ+1)≥1==>λ≤1
∴λ<-1
综上：若g(x)在x属于［-1,1］上是增函数,实数λ的取值范围是λ≤-1/3
(3)由(1)知：f(x)=1/4*(x+1)^2∵不等式f(x+t)≤x==>1/4*(x+t+1)^2≤x==>x^2+(2t-2)x+(t+1)^2≤0
设h(x)=x^2+(2t-2)x+(t+1)^2,其图像开口向上,对称轴x=1-t,h(0)=(t+1)^2≥0,Δ=(2t-2)^2-4(t+1)^2=-16t
要使x^2+(2t-2)x+(t+1)^2≤0有解
须使Δ=-16t≥0==>t≤0,则对称轴x=1-t≥1
解方程x^2+(2t-2)x+(t+1)^2=0x1=1-t-2√(-t)=(1-√(-t))^2≥0,x2=1+t+2√(-t)=(1+√(-t))^2≥0
又h(0)=(t+1)^2≥0易知,在x∈[(1-√(-t))^2,(1+√(-t))^2]上函数h(x)≤0
∵x∈[1,m],使得存在实数t,就有f(x+t)≤x即x^2+(2t-2)x+(t+1)^2≤0成立
只要0≤x1≤1==>0≤(1-√(-t))^2≤1==>-1≤t≤0要使实数m取得最大值,须使m=x2=(1+√(-t))^2有最大值
∴当t=-1时,x1=(1-√(-t))^2有最小值0,
此时m=(1+√(-t))^2有最大值4不好意思，在第三题求出△=0後面的步骤看不懂，可不可以给我解释一下，谢谢！在第三问中，Δ=-16t，哪有△=0？就是△=–16t≥0後面的那个方程要使不等式f(x+t)≤x，即使x^2+(2t-2)x+(t+1)^2≤0有解须使方程x^2+(2t-2)x+(t+1)^2=0有解，则Δ=-16t≥0==>t≤0，则对称轴x=1-t≥1解方程x^2+(2t-2)x+(t+1)^2=0x1=1-t-2√(-t)=(1-√(-t))^2≥0，x2=1+t+2√(-t)=(1+√(-t))^2≥0又h(0)=(t+1)^2≥0易知，在x∈[(1-√(-t))^2,(1+√(-t))^2]上函数h(x)≤0，即不等式x^2+(2t-2)x+(t+1)^2≤0有解∵x∈[1,m]，使得存在实数t，就有f(x+t)≤x即x^2+(2t-2)x+(t+1)^2≤0成立只要0≤x1≤1==>0≤(1-√(-t))^2≤1==>-1≤t≤0要使实数m取得最大值，须使m=x2=(1+√(-t))^2有最大值∴当t=-1时，x1=(1-√(-t))^2有最小值0，此时m=(1+√(-t))^2有最大值4大概懂了，谢谢！��ʦ˵����Ĵ��Ǵ�ġ�������