∵x³-3x²+（m+2）x-m=（x³-x²）-[2x²-（m+2）x+m]=x²（x-1）-（2x-m）（x-1）=（x-1）（x²-2x+m）=0，
∴x-1=0或x²-2x+m=0，
∴有一根为1，
∵x³-3x²+（m+2）x-m=0的三个互不相等的实数根，
∴x²-2x+m=0有两个不相等的实数根为一个三角形三边的长，
∴△=（-2）²-4m＞0，
解得：m＜1，
设x₁，x₂是x²-2x+m=0的两根，
则x₁+x₂=2，x₁•x₂=m，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁，x₂=4-4m，
∵|x₁-x₂|＜1，
∴4-4m＜1，
解得：m＞

3

4

，
∴实数m的取值范围是：

3

4

＜m＜1．
故选C．