A(1,1)为椭圆x平方除以9+y平方除以5=1内,F1为左焦点,P为椭圆上动点,求PF1+PA的最大值和最小值.
数形结合
人气:463 ℃ 时间:2019-10-03 21:17:17
解答
椭圆:x²/9+y²/5=1
a^2=9,c^2=9-5=4
F2(2,0)
△PAF2中,|PA|-|PF2|≤|AF2|=√2
又|PF1|+|PF2|=2a=6
∴|PA|+|PF1| = |PA|+(6-|PF2|)= 6+(|PA|-|PF2| ≤ 6+√2
即:P在AF2延长线上时,|PA|+|PF1|的最大值是6+√2
因为三角形两边之差小于第三边,所以(|PF2| - |PA|) <= |AF2|(等号成立当且仅当P,A,F2在同一直线上)
所以|PA| + |PF1| = 2a - (|PF2| - |PA|) >= 2a - |AF2|
= 2*3 - 根号2
= 6-根号2
即|PA|+|PF1|的最小值为6-√2
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