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数学
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已知函数f(x)=[x
2
+(2a-2)x+2-2a-b]e
x
(a,b∈R)在区间[-1,3]上是减函数,则a+b的最小值是( )
A. 4
B. 2
C.
3
2
D.
2
3
人气:100 ℃ 时间:2020-03-27 23:52:22
解答
∵f(x)=[x
2
+(2a-2)x+2-2a-b]e
x
(a,b∈R)在区间[-1,3]上是减函数,
∴f′(x)=e
x
(x
2
+2ax-b)<0,
∴x
2
+2ax-b<0,令g(x)=x
2
+2ax-b,
∵f(x)=[x
2
+(2a-2)x+2-2a-b]e
x
(a,b∈R)在区间[-1,3]上是减函数,
∴
g(−1)≤0
g(3)≤0
,
即
2a+b≥1
b−6a≥9
,①
在坐标平面内作直线 1-2a-b=0、9+6a-b=0,它们交于 A(-1,3),满足①(a,b)是 A 点上方区域,
令a+b=t,则 b=-a+t,t是直线在b轴上的截距,
平移直线,可以看出,当直线过A时,t最小为3-1=2.
故a+b的最小值是2.
故选:B.
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