有两个基本极限:lim{x → 0} (1-cos(x))/x² = 1/2,lim{x → 0} (a^x-1)/x = ln(a).可知n → ∞时0 ≤ 1-cos(1/n)与1/n²是同阶无穷小.根据比较判别法,由∑1/n²收敛,知∑(1-cos(1/n))收敛.而n → ∞时0...这两个 lim{x → 0} (1-cos(x))/x² = 1/2, lim{x → 0} (a^x-1)/x = ln(a).没听说过这两个其实都算是基本极限了, 证法有很多.从基础证起的话:前者(1-cos(x))/x² = 2sin²(x/2)/x², 然后对t = x/2由lim{t → 0} sin(t)/t = 1即得.后者对t = a^x-1, 有x = ln(1+t)/ln(a),于是由lim{t → 0} t/ln(1+t) = lim{t → 0} 1/ln((1+t)^(1/t)) = 1即得.如果不愿这个费功夫, 二者都可以用洛必达(L'Hospital)法则.或者用Taylor展开cos(x) = 1-x²/2+o(x²), a^x = e^(xln(a)) = 1+xln(a)+o(x).注: 严格来说指数函数求导公式一般是基于后面这个极限来证明的, 因此用洛必达法则在逻辑上有循环论证的嫌疑.从这里也能看出这个极限是很基本的, 建议掌握.