方程你应该学过吧?!
设 1+2+2的平方+2的立方+2的四次方+……+2的2001次方= X.---------------------------（1）
(1)×2,得:2+2的平方+2的立方+2的四次方+……+2的2001次方+2的2002次方=2X.---------（2）
用(2)式 - (1)式,得:2的2002次方 - 1=X.(中间的项都抵消了!)
故:X=2的2002次方 - 1.
即:1+2+2的平方+2的立方+2的四次方+……+2的2001次方=2的2002次方 - 1.