等轴双曲线X^2-Y^2=a^2与圆X^2+(Y-b)^2=r^2有四个不同的交点A,B,C,D ,求四个点到原点的距离的平方和_数学解答

等轴双曲线X^2-Y^2=a^2与圆X^2+(Y-b)^2=r^2有四个不同的交点A,B,C,D ,求四个点到原点的距离的平方和

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解答

X^2-Y^2=a^2与圆X^2+(Y-b)^2=r^2联立得:
y^2+a^2+y^2-2by+b^2=r^2
2y^2-2by+a^2+b^2-r^2=0
y1+y2=b
y1y2=(a^2+b^2-r^2)/2
所以,y1^2+y2^2=(y1+y2)^2-2y1y2=b^2-(a^2+b^2-r^2)=r^2-a^2
所以,x1^2+x2^2=(y1^2+a^2)+(y2^2+a^2)=r^2+a^2
那么,四个点到原点的距离的平方和=2[(x1^2+y1^2)+(x2^2+y2^2)]=2(r^2+a^2+r^2-a^2)=4r^2