（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．
即∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．
（2） ①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小．
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
（3） 过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=∠ABF-∠ABE=90°-60°=30°．
设正方形的边长为x，则BF=

3

2

x，EF=

x

2

．
在Rt△EFC中，
∵EF²+FC²=EC²，
∴（

x

2

）²+（

3

2

x+x）²=(

3

+1)2．
解得，x₁=

2

，x₂=-

2

（舍去负值）．
∴正方形的边长为

2

．