(1)
S(1)=(3/2)a(1)-3/2
S(1)=a(1)=3
S(n)=(3/2)a(n)-3/2
S(n)=(3/2)[S(n)-S(n-1)]-3/2
S(n)-3S(n-1)-3=0
S(n)+3/2=3[S(n-1)+3/2]
则{S(n)+3/2}是等比数列公比是3
S(n)+3/2=[S(1)+3/2]*3^(n-1)=(1/2)*3^(n+1)
S(n)=[3^(n+1)-3]/2
a(n)=S(n)-S(n-1)=3^n(n≥2)
又a(1)=3=3^1满足上式,
则a(n)=3^n
(2)
a(u)=b(v)
3^u=4v+3
3*[3^(u-1)-1]=4v
则3^(u-1)-1必能被4整除
即3^(u-1)除以4余数是1
3^1÷4余3
3^2÷4余1
3^3÷4余3
……
可知3的幂次除以4所得余数是两个一循环
那么3^(u-1)=3^(2k),即u=2k+1
∴{c(n)}的项是{a(2n+1)},(k≥0)
即c(n)=3^(2n+1)可知3的幂次除以4所得余数是两个一循环那么3^(u-1)=3^(2k),即u=2k+1这个怎么得到嗯，这个是需要数论知识证明的，如果你是高中生的话，直接这么写就行了，不必纠结证明过程。下面给出证明。 对于{a(2n+1)}即3^(2n+1) n=0时，3^1=3除以4的余数是3 假设n=k时，3^(2k+1)除以4的余数是3 n=k+1时，3^(2k+3)=9*3^(2k+1) 而3^(2k+1)除以4的余数是3，3*9=27除以4的余数是3 （这里用到一个数论知识，就是a*b除以c的余数=【（a除以c的余数）*（b除以c的余数）】除以c的余数） 所以n=k+1的时候也成立同理可证{a(2n)}除以4的余数是1