1)
当a=1时,f(x)=1+(1/2)^x+(1/4)^x
∵f(x)在(-∞,0)上单调递减
∴f(x)＞f(0)=3
即:f(x)在(-∞,0)的值域为(3,+∞)
∴不存在常数M＞0,使|f(x)|≤M成立
∴函数f(x)在(-∞,0)上不是有界函数
(2)
由题意:
|f(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立
-3≤f(x)≤3,
4-(1/4)^x≤a•(1/2)^x≤2-(1/4)^x
∴-4•2^x-(1/2)^x≤a≤2•2^x-(1/2)^x在[0,+∞)上恒成立
∴[-4•2^x-(1/2)^x]max=[2•2^x-(1/2)^x]max
设2x=t,h(t)=-4t-1/t,p(t)=2t-1/t
∵x∈[0,+∞)
∴t≥1
设1≤t1＜t2
h(t1)-h(t2)=(t2-t1)(4t2t1-1)/t2t1＞0
p(t1)-p(t2)=(t2-t1)(2t2t1-1)/t2t1＜0
∴h(t)在[1,+∞)上递减,p(t)在[1,+∞)上递增
∴h(t)在[1,+∞)上的最大值为h(1)=-5
p(t)在[1,+∞)上的最小值为p(1)=1
∴实数a的取值范围为[-5,1]