设方程的两根分别为a、b，则a+b=m+1，ab=m+2，
∵a²+b²=6，
∴（a+b）²-2ab=6，
∴（m+1）²-2（m+2）=6，
整理为m²-9=0，解得m₁=3，m₂=-3，
当m=3时，原方程变形为x²-4x+5=0，△=16-4×5=-4＜0，方程没有实数根；
当m=-3时，原方程变形为x²+2x-1=0，△=4-4×（-1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，
∴m的值为-3．