这个题目似乎有点问题
举个反例
令f(x)=x+1
[a,b]=[1,2]
显然 f（x)在[a,b]上连续且恒大于0
F(x)=x^2/2+x-1+ln(x+1)
F'(x)=x+1+1/(x+1)>0
F(a)=1/2+ln2>0
F(b)=3+ln3>0
显然F（x）=0在[a,b]上无解.