f(x)在[0,+∞)内连续,且lim(x→+∞)f(x)=1.证明函数y=e^(-x)∫(0,x)e^tf(t)dt满足方程dy_数学解答

f(x)在[0,+∞)内连续,且lim(x→+∞)f(x)=1.证明函数y=e^(-x)∫(0,x)e^tf(t)dt满足方程dy/dx+y=f(x)
并求lim(x→+∞)y(x)

人气：445 ℃　时间：2019-08-20 19:14:31

解答

求导,得dy/dx=-e^(-x)∫<0,x>e^tf(t)dt+e^(-x)*e^(x)f(x)
所以dy/dx+y=f(x)
而y=[∫<0,x>e^tf(t)dt]/e^x
limy=lim{d[∫<0,x>e^tf(t)dt]/dx}/e^x（洛必达法则）
=limf(x)=1