用可积准则证明:若函数f在【a,b】上可积,则f^2在【a,b】上也可积.
人气:203 ℃ 时间:2020-04-05 05:24:14
解答
首先,f可积则f有界,设|f|<=M.
于是对任意的x,y有|f^2(x)-f^2(y)|=|f(x)+f(y)|*|f(x)-f(y)|<=2M*|f(x)-f(y)|.
此不等式说明对区间【a,b】的任意分划下,
在每一个小子区间上函数f^2的振幅<=2M*函数f的振幅,
因此对任意的e>0,由f可积,存在d>0,只要分划的模就有:求和(i=1到n)wi(f)dxiwi(f)表示f在[x(i-1),xi]上的振幅,dxi是其长度.
于是有
求和(i=1到n)wi(f^2)dxi
<=求和(i=1到n)2M*wi(f)*dxi
故f^2可积.
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