如图，连接BD．
∵AB∥CD，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
又∵∠ABC=∠BAD，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠DBC=∠DAC．   
∵将△ABE沿AB翻折得△ABG，点E落在点G处，
∴∠BAG=∠BAD=60°，∠ABE=∠ABG，BG=BE，AG=AE，
∴∠DAG=∠BAG+∠BAD=120°，
又∵∠ABE=∠CAD，
∴∠ABG=∠DBC=∠DAC=∠ABE，
又∵∠ABC=∠DBC+∠ABD=60°，
∴∠DBG=∠ABG+∠ABD=∠ABC=60°，
∴∠DAG+∠DBG=120°+60°=180°，
∴A、G、B、D四点共圆，
又∵A、B、C、D四点共圆，
∴A、B、C、D、G五点共圆，
∴∠BGD=∠BAD=60°，
∴∠DBG=∠BGD=60°，
∴△BDG是等边三角形，
∴DG=BD=BG，
又∵BG=BE，
∴DG=BD=BG=BE．
在△ADG与△DAC中，

∠ADG=∠DAC ∠DGA=∠DCA AD=DA

，
∴△ADG≌△DAC（AAS），
∴AG=AE=DC=3．
在△ABE与△FAE中，

∠ABE=∠FAE ∠AEB=∠FEA

，
∴△ABE∽△FAE，
∴

AE

FE

=

BE

AE

，即

3

9 7

=

BE

3

，
解得BE=7，
∴DG=BD=BG=BE=7．
故答案为7．