设斜率为1的直线方程是
y=x+b
因为直线过（0,2）
则2=0+b
b=2
所以直线方程是y=x+2
a=4
直线方程代入抛物线方程得
x^2=4(x+2)=4x+8
x^2-4x-8=0
xa+xb=4
xa*xb=-8
|xa*xb|=|xa|*|xb|=8
|xa|+|xb|
=√(|xa|+|xb|)^2
=√(xa^2+2|xa||xb|+xb^2)
=√(xa^2+2*8+xb^2)
=√(xa^2+2xaxb+xb^2-2xaxb+16)
=√[(xa+xb)^2-2xaxb+16]
=√[4^2-2*(-8)+16]
=4√3
直线与y轴交点C坐标是(0,2)
S△AOB=S△AOC+S△BOC
=1/2*|OC|*|xa|+1/2*|OC|*|xb|
=1/2*|OC|*(|xa|+|xb|)
=1/2*2*4√3
=4√3