∵在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，
∴c＜a+b
∵b=4，
∴a=1，2，3，4，
a=1时，c=4，
a=2时，c=4，5
a=3时，c=4，5，6
a=4时，c=4，5，6，7
∴这样的三角形共有1+2+3+4=10个．
故案为10．