存在．有以下几种情况：
①P和O重合，PQ=AB时，
∵在△BOA和△QAP中

AQ＝OB ∠BPA＝∠QAP OA＝OP

，
∴△BOA≌△QAP（SAS），
此时Q的坐标是在x轴的上方时，Q的坐标是（10，5），P（0，0）；
在x轴的下方时Q的坐标是（10，-5），P（0，0）；
②同理：当AP=OB=5，AQ=OA=10时，如图
△PAQ≌△OBA（SAS），
此时Q的坐标是（10，10），P（5，0）或（10，-10），P（5，0）．