已知点P是二面角α—l—β的两平面外的一点,PA⊥α,垂足为A,PB⊥β,垂足为B,且PA=5,PB=3,AB=7.
试求二面角的大小
人气:320 ℃ 时间:2019-12-20 22:42:29
解答
令平面PAB与直线 l 的交点为C.
∵PA⊥平面α,∴l⊥PA. ∵PB⊥平面β,∴l⊥PB.
由l⊥PA、l⊥PB、PA∩PB=P,得:l⊥平面PAB,∴AC⊥l、BC⊥l,
∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角.
∵PA平面α,∴PA⊥AC. ∵PB⊥平面β,∴PB⊥BC.
由PA⊥AC、PB⊥BC,得:A、C、B、P共圆,∴∠ACB=180°-∠APB.
由余弦定理,有:
cos∠APB=(PA^2+PB^2-AB^2)/(2PA×PB)=(25+9-49)/(2×5×3)=-1/2,
∴∠APB=120°, ∴∠ACB=180°-120°=60°.
即:二面角α-l-β的大小为60.
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