设球O的半径为R，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内接于球O，
∴正方体的对角线长等于球O的直径，可得2R=

3

a．
又∵球O的体积为4

3

π，
∴V=

4π

3

•R3=4

3

π，解得R=

3

，
由此可得

3

a＝2R＝2

3

，解得a=2．
∵球O是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球，
∴点O是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的中心，
可得点O到正方体的一个面的距离等于正方体棱长的一半，即d=

1

2

a＝1．
因此，球心O到正方体的一个面ABCD的距离等于1．
故选：A