1）cosB=3/4,得sinB=√[1-(3/4)²]=√7/4.由b²=ac及正弦定理,
得sin²B=sinAsinC.于是
1/tanA+1/tanC=cosA/sinA+cosC/sinC
=(sinCcosA+cosCsinA)/sinAsinC
=sin(A+C)/sin²B=sinB/sin²B=1/sinB
=4√7/7.
2）由向量BA·向量BC＝3／2,得BA*BC*cosB=3/2.
由cosB=3/4,可得ca=2,即b²=2.
由余弦定理 b²=a²+c²-2accosB,得a²+c²=b²+2accosB=5.
(a+c)²=a²+c²+2ac=5+4=9.
所以a+c=3.