根号2= p/q(p,q 为互质正整数）,则
p^2 = 2q^2.
于是 p为偶数.设p=2k（k为正整数）,于是
4k^2= 2q^2.
此即
2k^2= q^2.
于是 q为偶数.这与p,q 互质矛盾
下面是一个很少见的证明：
一个有限小数的平方绝对不可能变成整数,因为小数部分不可能消失.观察有限小数的小数部分最后一个数字你会发现结论是显然的,平方后它总会产生新的“最后一位”.
下面证明,(n/m)^2不可能等于2.n/m不可能是整数,于是把它写成小数形式,而有限小数的平方不可能是整数.如果n/m不是有限小数的话,可以把它转换成另外的进制使得n/m是有限小数,因而上面的结论仍然成立.一个进制下的无限小数可能是另一个进制下的有限小数.比如,把分数n/m转化为m进制,得到的小数肯定是有限小数.