已知平面内三点A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),O为坐标原点.
(1)若向量AC·向量BC=-1/2.求sin2α的值;
(2)若|1/3向量AC-向量OC|=1,且α∈(0,π),求向量OB与向量OC的夹角.
为什么我算的是cosα=根号3/2 sinα=正负1/2
人气:108 ℃ 时间:2019-08-20 09:27:19
解答
1、
向量AC=(cosα-3,sinα),向量BC=(cosα,sinα-3)
所以,向量AC·向量BC=cosα(cosα-3)+sinα(sinα-3)
=cos²α+sin²α-3(sinα+cosα)
=1-3(sinα+cosα)
=-1/2
所以,sinα+cosα=1/2
平方得:sin²α+cos²α+2sinαcosα=1/4
即:1+sin2α=1/4
得:sin2α=-3/4
2、
向量AC=(cosα-3,sinα),向量OC=(cosα,sinα),
所以,1/3向量AC-向量OC=(-2cosα/3-1,-2sinα/3)
所以,|1/3向量AC-向量OC|²=(-2cosα/3-1)²+(-2sinα/3)²
=4cos²α/9+4cosα/3+1+4sin²α/9
=4/9+4cosα/3+1
=1
得:cosα=-1/3
因为α∈(0,π),则由平方关系可得:sinα=2√2/3
向量OB=(0,3),向量OC=(-1/3,2√2/3),
设两者夹角为θ
则cosθ=OB*OC/|OB||OC|
=2√2/3
所以,夹角为arccos2√2/3
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