柯西极限存在准则的充分性怎么证明?
人气:459 ℃ 时间:2020-01-26 09:32:01
解答
首先柯西序列是有界的,这个很好证明,你可以自己证一下,下面要用到一个很有用的引理:有界序列必存在收敛子列,这是关于实数性质的基本定理,证明较繁,但是直观上很好接受.有了这两点就可以证明柯西收敛原理的充分性了(这是柯西当年没有完成的):设序列{an}是柯西序列,则它是有界的,因此{an}存在收敛子列{ank},设limank=a,即对任意ε,存在N1,使得nk>N时有|ank-a|<ε/2,根据柯西序列的定义,又知对这个ε,存在N2,使得n,nk>N2时有|an-ank|<ε/2,因此现在取N=man(N1,N2),当n>N时就有|an-a|≤|an-ank|+|ank-a|<ε/2+ε/2=ε,这就证明了{an}收敛,也就证明了柯西收敛原理的充分性.你太厉害了谢谢夸奖。。。很高兴对你有帮助
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