在平行四边形ABCD中,AC和BD是对角线,求证AC~2+BD~2=AB~2+BC~2+CD~2+DA~2._数学解答

在平行四边形ABCD中,AC和BD是对角线,求证AC~2+BD~2=AB~2+BC~2+CD~2+DA~2.

人气：371 ℃　时间：2020-03-26 22:15:37

解答

过A、D作BC的垂线,分别交BC和BC的延长线于E、F,设BE=a
则：AC²=(BC-a)²+AE² ①
BD²=(BC+a)²+AE² ②
而 AE²=AB²-a² ③
①+②化简得：
AC²+BD²=2BC²+2a²+2AE² ④
将③代入④得：
AC²+BD²=2BC²+2AB²
即AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+AD²