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用数学归纳法证明:
1
2
+
2
2
+
3
2
+…+
n
2
=
n(n+1)(2n+1)
6
.
人气:452 ℃ 时间:2019-12-09 00:37:07
解答
证明:(1)当n=1时,左边=1
2
=1,右边=
1×2×3
6
=1
,等式成立.(4分)
(2)假设当n=k时,等式成立,即
1
2
+
2
2
+
3
2
+…+
k
2
=
k(k+1)(2k+1)
6
(6分)
那么,当n=k+1时,
1
2
+
2
2
+
3
2
+…+
k
2
+
(k+1)
2
=
k(k+1)(2k+1)
6
+
(k+1)
2
=
k(k+1)(2k+1)+6
(k+1)
2
6
=
(k+1)(2
k
2
+7k+6)
6
=
(k+1)(k+2)(2k+3)
6
=
(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]
6
这就是说,当n=k+1时等式也成立.(10分)
根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N
*
都成立.(12分)
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