如图，将符合题意的三棱锥放入长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，则三棱锥A₁-AB₁D₁中，侧棱A₁A、A₁B₁、A₁D₁互相垂直，
设长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球为球O，则球O同时是三棱锥A₁-AB₁D₁的外接球
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的长、宽、高分别为3cm、2cm、

3

cm，
∴长方体的对角线长为

32+22+( 3 )2

=4cm，
可得外接球O的半径为2cm．
根据球的体积公式，得球O的体积为V=

4π

3

×r³=

32

3

πcm3
故选D