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数学
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若函数
f(x)=
1
3
x
3
-x在(a,10-
a
2
)
上有最小值,则a的取值范围为 ___ .
人气:322 ℃ 时间:2019-12-20 19:16:02
解答
由已知,f′(x)=x
2
-1,有x
2
-1≥0得x≥1或x≤-1,
因此当x∈[1,+∞),(-∞,-1]时f(x)为增函数,在x∈[-1,1]时f(x)为减函数.
又因为函数
f(x)=
1
3
x
3
-x在(a,10-
a
2
)
上有最小值,所以开区间(a,10-a
2
)须包含x=1,
所以函数f(x)的最小值即为函数的极小值f(1)=-
2
3
,
又由f(x)=-
2
3
可得
1
3
x
3
-x=-
2
3
,于是得(x-1)
2
(x+2)=0
即有f(-2)=-
2
3
,因此有以下不等式成立:
-2≤a<1
10-
a
2
>1
,可解得-2≤a<1,
答案为:[-2,1)
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