曲面积分求(xdydz + ydzdx + zdxdy) /[(x^2+y^2+z^2)^(3/2)]求∫∫(xdydz + y_数学解答

曲面积分求(xdydz + ydzdx + zdxdy) /[(x^2+y^2+z^2)^(3/2)]
求∫∫(xdydz + ydzdx + zdxdy) /[(x^2+y^2+z^2)^(3/2)]
积分区域是
(1) 半径为a的上半球的上表面(z>0的上表面)
(2)(x^2)/4 + (y^2)/9 + (z^2)/25 = 1 (z >= 0 的上表面)
第一问我是带入成 a^(-3)*∫∫[(a^2-x^2-y^2)^(1/2)]dxdy 区域是x^2+y^2
第一问我是带入成 a^(-3)*∫∫[(a^2-x^2-y^2)^(1/2)]dxdy 区域是x^2+y^2

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解答

第一题∫∫Σ (xdydz + ydzdx + zdxdy)/(x² + y² + z²)^(3/2)= (1/a³)∫∫Σ xdydz + ydzdx + zdxdy= (1/a³)∫∫Σ x(- ∂z/∂x)dxdy + y(- ∂z/∂y)dxdy + zdxdy= (1...第一类曲面积分符合偶倍奇零性质第二类曲面积分符合偶零奇倍性质刚好调转的。∫∫Σ xdydz，分别前侧和后侧前侧的曲面为Σ1：x = √(a² - y² - z²)后侧的曲面为Σ2：x = - √(a² - y² - z²)∫∫Σ xdydz= ∫∫Σ1 xdydz + ∫∫Σ2 xdydz= [+ ∫∫D √(a² - y² - z²) dydz] + [- ∫∫D - √(a² - y² - z²) dydz]= 2∫∫D √(a² - y² - z²) dydz= 2∫∫Σ1 xdydz